금융공학
옵션가치계산 : Black–Scholes model
경희대생
2025. 4. 28. 04:10
옵션의 가격은 어떻게 계산될까?
확률에 따라 변하는 옵션 가치
옵션을 구매하는 사람은 옵션을 매입하는 대가로 옵션 발행자(매도자)에게 계약 시점에 옵션 가격만큼 돈을 지불합니다.
그렇다면 옵션 매수자와 매도자 모두에게 합리적인 옵션 가격은 얼마일까요?
옵션이라는 상품은 기초자산의 미래 상황에 따라, 즉 행사 조건이 충족되는지 여부에 따라 수익이 좌우됩니다.
따라서 그 가치를 평가하는 가장 합리적인 방법은 '수익(Payoff) × 확률(Probability)' 로 표현할 수 있습니다.
기초자산이 주식인 경우, 미래 주식가격의 움직임을 확률분포로 표시할 수 있다면 옵션 가격 계산이 가능해집니다.
미래 주가 분포는 어떤 확률분포를 따를까?
미래 주가의 분포를 생각해봅시다.
- 현재 가격을 중심으로
- 오르거나 내릴 수 있는 범위가 대칭적이고
- 가격 변동이 연속적이라면
정규분포(Normal Distribution)와 유사하게 보일 수 있습니다.
하지만 주가는 음수가 될 수 없습니다.
따라서 주가 자체는 로그정규분포(Lognormal Distribution)를 따른다고 가정합니다.
즉:
- 주가의 로그수익률(Log Return) 은 정규분포를 따르고,
- 주가 자체는 로그정규분포를 따릅니다.
📈 로그정규분포 (Lognormal Distribution)
- 입력: 현재 주가
- 변환: 로그를 취해서 정규분포로 모델링
- 출력: 지수함수(Exponential)를 통해 실제 주가 경로를 모델링
요약: 실제 주가는 항상 0 이상이므로, 로그변환을 통해 수익률을 정규분포로 맞춥니다.
📈 표준정규분포 (Normal Distribution, CDF)
- 입력: ln(S0/K)
- 변환: 시간과 변동성 조정 ( d1d_1, d2d_2 계산)
- 출력: 누적확률값 (0~1 사이)로 변환
요약: d1,d2를 CDF에 넣어 "성공확률" 로 변환합니다.
옵션 가격 계산 = 수익 × 확률
미래 기대수익 × 성공확률을 계산하고, 이를 무위험이자율 r로 할인해서 현재가치로 환산합니다.
옵션 가격 계산 공식: Black-Scholes 공식
블랙-숄즈 공식 해석
- 현재 주가 가치 S0
- 주가가 행사 가격 이상이 될 확률 N(d1)
- 성공할 때 기대할 수 있는 현재가치
- 행사 가격 K
- 무위험이자율로 할인한 현재가치
- 주가가 행사 조건을 만족할 확률 N(d2)
- 미래에 지불해야 할 금액의 현재가치
d₁, d₂의 의미
구분의미
| d1 | 현재 기준 성공 기대값 (성장 기대 포함) |
| d2 | 리스크 중립 세계에서 행사 확률 (r만 반영) |
d₂가 리스크 중립 세계인 이유
옵션 가격은 무위험수익률 r만 반영하는 세계를 가정합니다.
따라서 d2 계산식에는
조정이 들어가 변동성 리스크를 중립적으로 반영합니다.
옵션 가격과 변동성, 현재가(S₀), 행사가(K) 관계
조건결과
| 변동성 증가 | 콜, 풋 옵션 프리미엄 모두 증가 |
| 변동성 감소 | 콜, 풋 옵션 프리미엄 모두 감소 |
| 현재가 S0증가 | 콜옵션 프리미엄 증가 |
| 행사가 K증가 | 콜옵션 프리미엄 감소 |
옵션 가격 직관 요약
옵션 가격 = 기대수익 × 성공확률을 무위험이자율로 할인한 현재가치
- 기대수익: S0 또는 K
- 성공확률: N(d1), N(d2)
최종정리
- c를 보면 결론적으로는 변동성이 커지면 N(d1)은 커지고, N(d2)는 작아지니까 call preminum이 커짐
- 변동성이 작아지면 N(d1)은 작아지고, N(d2)는 커지니까 call preminum이 작아짐
- S0과 K의 차이가 클수록 call preminum은 커지고 (S0 에서 K를 빼주기 때문에) 차이가 작을수록 call preminum은 작아짐
- 차이가 작을수록 call preminum은 작아짐
- put은 반대