Mean-Variance Portfolio Theory

 

 

 

l  stock과 fixed income security 

fixed income security의 경우 보통 미래의 현금흐름이 정해져 있지만, 주식의 경우 미래의 현금흐름 (수익)의 발생이 불확실(랜덤)하게 발생한다. 주식과 같은 랜덤한 현금흐름이 있다고 할 때, 어떻게 수리적으로 접근할 수 있는지에 대한 것이 MVO이다.

 

l  투자 포트폴리오

포트폴리오의 초기 투자비중은 정할 수 있지만, 금액이 앞으로 바뀌는 것은 랜덤하게 변한다.

 

l  Assets(자산)

회계에서의 Asset은 여러 정의가 있다. 현금 및 현금 등가물로써 예금, 수표, 저축 증명서 등이 있다. 부동산은 토지나 건물이 있다. 개인 재산은 부동산이 아닌 소유를 의미하고 주식, 연금, 채권 등의 투자도 assets이다 한다.

하지만 이 글에서의 assets은 금융자산(Financial asset)을 의미하겠다. 즉, 일반적으로 알고 있는 개별 주식, 펀드 상품을 의미한다.

펀드는 포트폴리오와 개념이 비슷한데 여러 개의 주식이 될 수도, 여러 개의 상품에 투자한 것을 펀드라 할 수 있다.

 

l  MVO

MVO는 Mean-Variance Optimization model로 현대 포트폴리오 이론이라고도 불리며, 실제로는 1952년에 나왔다. 오래전에 나온 모델이지만 현재 현업에서도 사용하는 모델은 Markowitz model을 기반으로 한다. 이 모델을 개발했던 공로를 인정받아 1990년 노벨상도 받는다.

 

MVO model은 1950년대부터 꾸준히 연구되어온 분야이다. 50년도의 모델을 사용한는 것은 아니고 그 후로도 계속 발전한 모델을 사용한다.

 

l  포트폴리오 관리 (Portfolio Management)

 

 

투자 의사결정 (포트폴리오 자산 weights )은 현재 시점에 하게 되며, 미래에 이 포트폴리오 가치가 어떻게 바뀔지는 불확실하다. 이 불확실성을 해소하고 어느정도 미래의 성과를 평가하기 위해 포트폴리오의 각 개별자산의 과거 수익률 움직임 (historical data)를 통해 미래의 성과를 확률분포로 표현한다. 가장 많이 활용되는 분포 중 하나는 정규분포이며, 포트폴리오 내의 개발자산의 과거 수익률을 랜덤분포로 가정하고, 이에 평균, 분산, 공분산 (포트폴리오 내 자산간)을 통해 확률분포를 사용하고, 의사결정을 진행한다.

 

투자 의사결정을 한다는 것은 금융자산들 중 1) 어떤 금융자산들에 2) 비중을 얼마씩 투자할지를 결정하는 것이다. 많은 자산들의 조합들 중 최적의 조합과 배분을 찾는 것으로, 간단한 방법으로 포트폴리오의 수익(Return)과 위험(Risk)를 고려하게 된다. 가능한 포트폴리오의 각각의 수익과 위험을 안다면, 그 옵션을 비교해 같은 수익대비 낮은 위험 또는 같은 위험대비 높은 수익에 해당하는 포트폴리오를 선택하게 된다 (Efficient Portfolio).

 

이를 위해 개별 주식, 개별 자산들의 수익률 평균, 분산, 공분산을 구하고, 세가지의 조합으로 앞서 언급했듯이, 포트폴리오 수익과 위험을 측정하게 된다. 개별자산의 과거 수익률을 랜덤분포로 가정한다면, 포트폴리오 내 각 개별자산들의 수익률 평균, 분산, 포트폴리오 내 자산간 공분산을 구할 수 있다.

 

포트폴리오 수익률은 각 자산별 수익률에 비중을 곱하여 모두 더한 값 (가중합)이며, 포트폴리오 기대수익률은 마찬깆로 각 자산별 기대수익률에 비중을 곱하여 구해준다. 포트폴리오 분산의 경우 개별자산과 자산간 공분산을 통하여 구해줄 수 있다. 행렬연산으로 진행할 시, W의 전치행렬 (1 x n), 공분산행렬 (n x n) , W행렬(n x1)의 내접을 통해 구할 수 있다. 이렇게 구한 포트폴리오의 기대수익률과 분산을 포트폴리오의 return 과 risk로 고려하게 된다.

 

포트폴리오의 수익률을 모델링 하기 위해, 포트폴리오 기대수익률과 분산을 통하여 확률분포를 그리고, 확률분포는 정규분포로 보통 가정한다. 하지만 주식시장의 수익률을 보면 꼭 정규분포를 따르는 것은 아니다. 정규분포랑 비슷하지만 tail쪽의 극단적으로 크거나 작은 값들이 발생하기도 한다. 정규분포의 경우 블랙스완을 예측하지는 않기에, 성과분석 시 CVaR 등의 지표등을 사용하여 tail을 고려한 포트폴리오 성과를 분석하기도 한다.

 

 

l  Diversification

그렇다면 어떻게 포트폴리오의 효율적인 자산비중을 정하게 될까? 포트폴리오 최적화의 경우Diversification이 핵심이다. 분산투자에 따라 평균과 분산은 변하게 된다. 가령, 고려하는 자산이 n개가 있는데, n개의 자산의 상관관계가 0 (서로 다른 주식들 간의 공분산이 0)이라고 가정하자. 각각 자산의 기대 수익률은 m, 각각의 분산은 시그마^2이라 생각하자. 즉, 모든 주식들의 기대수익률과 분산은 같고, 다른 주식과의 공분산은 0이다. 이 경우, 고려하는 포트폴리오 n개의 주식에 동일하게 나눠서 투자하는 동일 가중 포트폴리오를 보면, 투자하는 자산이 n의 크기에 상관없이 포트폴리오의 기대수익률은 m이라는 값을 가진다. 하지만 포트폴리오 분산을 계산하면, 시그마^2/n 으로, n이 커질때, risk측면에서 분산이 계속해서 줄어들게 된다. 즉, 분산투자를 함으로써 포트폴리오의 리스크를 줄일 수 있게 되는 것이다.

 

 

앞의 예시에서 상관관계가 있는 주식으로만 바꿔서 생각해보자(기대수익률과 분산은 모두 같지만, 공분산은 0.3시그마^2으로 가정). 이 경우에는 포트폴리오 기대 수익률은 공분산에 영향을 받지 않으므로 변함없이 m이지만, 포트폴리오 분산의 경우 0.7시그마^2/n + 0.3시그마^2으로 나오게 되고, 이 경우 역시 n이 증가하면 분산은 감소하지만, 0.3시그마^2 이하로는 떨어질 수 없게 된다. 하지만 결국 n이 증가하면 분산이 감소한다는 사실은 분명함으로, diversification 효과를 나타낼 수 있다.

 

하지만 위와 같이 특수한 경우가 아닌 일반적인 현실에서는 분산투자를 한다고 무조건 포트폴리오 성과가 좋아지는 것은 아니다. 분산투자를 어떻게 하느냐가 중요하기 때문에, 그냥 나누어 투자한다고 하면 포트폴리오 분산이 줄어들 수는 있어도, 포트폴리오의 기대수익률 또한 줄어들 수 있다. 따라서 분산투자를 할 때는 리스크를 줄이는 것만 고려하는 것이 아니라 리턴에도 어떤 영향을 주는지 고려해야 된다. (risk 대비 return)

risk대비 return을 수리적으로 표현하는 것이 평균-분산 모델이다. 이는 분산투자를 했을 때 리스크와 리턴에 어떤 영향을 주는지 동시에 고려하는 모델이다.

 

 

 

l  평균-분산 모델 그래프

 

자산 두개의 기대수익률과 분산을 x축은 수익률의 표준편차, y축은 기대수익률로 표시한 그래프에 나타내면 두점으로 나타낼 수 있다. 두 자산에 각각 50%씩 투자한 포트폴리오를 그래프에 그린다면 기대수익률의 경우 두 자산의 50%씩 가중평균하면 쉽게 구해진다. 하지만 분산의 경우, 두 주식간의 상관관계가 중요하다. 상관계수가 1인경우 두 자산이 직선으로 연결되는 선 위에서 포트폴리오가 형성되고, -1 과 1사이인 경우, 상관관계에 따라 곡선의 정도가 심화되며 곡선위에서 포트폴리오가 형성되게 된다. 실제 곡선이 어떤 선인지는 두 주식 사이의 공분산, 정확히는 상관계수에 의해 결정된다. 현실에서 일반적으로 두 개의 주식, 자산 사이의 상관계쑤가 1, -1인 경우는 거의 없다. 따라서 두 개의 주식 or 주개의 자산으로 이루어진 포트폴리오는 어떤 곡선 위에 존재한다고 보면 된다.

 

 

 

l  Feasible Set

예를들어 n 개의 자산이나 주식이 있다고 가정하면 이 n 개의 주식의 기대 수익률과 분산, 표준 편차를 가지고 평균-표준편차 그래프에 표시할 수 있다. 그 후 n 개의 주식을 가지고 구성 가능한 모든 포트폴리오를 구성한다 생각하자. 포트폴리오는 w(1)부터 w(n)까지의 비중으로 포트폴리오를 정의할 텐데 가능한 모든 조합을 가지고 포트폴리오를 구성한다고 한다. 포트폴리오를 구성하고 그 포트폴리오의 기대 수익률과 표준 편차를 가지고 그래프에 다 표시를 하는 집합을 Feasible Set이라 한다. 즉 가능한 모든 포트폴리오의 집합이라 이해하면 된다.

3개 이상의 주식을 가지고 가능한 포트폴리오를 그려보면 그 주식들의 상관계수가 1, -1이 아닌 경우에는 곡선으로만 이루어진 면적이 나온다. (1, 2), (2, 3), (3, 1)에 투자하는 포트폴리오를 그리면 면적의 가장자리를 나타나게 된다. 3개의 조합으로 포트폴리오를 구성한다고 하면 이 면적을 전부 다 채울 수 있다. 어떤 경우의 상관계수를 보면 2개씩만 투자하는 것보다 3개에 투자하면 더 넓은 면적이 나오는 경우가 있다.

 

 

n 개의 아주 많은 주식을 가지고 가능한 포트폴리오를 그래프로 나타나면 왼쪽으로 볼록한 한정적인 면적이 나온다. 만약 공매도가 가능하게 되면, 포트폴리오의 w가 음수가 될 수 있으므로, 공매도가 불가능했을 때보다 왼쪽으로는 더 큰 면적이, 오른쪽으로는 제약 없이 무한히 퍼저나가는 면적이 나오게 된다.

 

 

 

 

l  Minimum-Variance Set, GMVP,  Risk Aversion

 

Feasible set 중에서 가장 왼쪽 끝의 곡선을 Minimum-Variance Set이라 한다. 특정 기대 수익률(y 축)을 주는 포트폴리오들 중에서 x축에서 가장 왼쪽에 있는 것이기 때문에 분산이 가장 작은 집합이다. 또한 이런 Minimum-Variance Set 중에서도 가장 분산이 작은 점을 Minimum-Variance point, Global Minimum-Variance portfolio, 최소 분산 포트폴리오라고 한다. 즉, 가능한 모든 포트폴리오 중에서 분산이 가장 작은 포트폴리오를 의미한다.

 

 

주어진 특정 기대 수익률을 만족하는 포트폴리오 중에서 일반적으로 가장 왼쪽에 있는 포트폴리오를 선호한다. 보통은 같은 수익률을 만족하는 포트폴리오들이 있다면 가장 리스크가 낮은 것을 선호하기 때문이다(위험회피). 이런 투자자들을 위험회피(Risk Aversion) 투자자라고 하고 위험회피 성향이 있다고 한다. 또한 평균-분산 모델에서는 일반적으로 위험회피 성향을 가지고 있는 투자자만을 분석한다.

 

 

l  Efficient Frontier

 

표준편차가 동일한 여러 개의 포트폴리오가 있다면 투자자들은 당연히 그중에서 기대 수익률이 가장 높은 포트폴리오를 선호할 것이다. 따라서 가장 위에 있는 포트폴리오를 선호할 것이다. 구성 가능한 모든 포트폴리오를 Feasible Set이라 하고 이를 그래프로 나타나면 아까와 같이 면적이 나타난다. 하지만 이 면적을 모두 고려할 필요는 없는 이유는 일반적인 투자자들은 위험 회피 성향이 있고 이는 왼쪽 끝의 포트폴리오만 고려한다는 이야기이다. 따라서 면적이 아닌 곡선 하나로 표현이 된다. 또한 동일한 표준편차를 갖는 포트폴리오 중에서는 당연히 기대 수익률이 가장 높은 포트폴리오를 선호한다. 따라서 Minimum-Variance Set 중에서도GVMP 아래에 있는 부분은 같은 표준편차에서 더 높은 기대수익률이 선호가 되기 때문에 고려 대상이 아니다. 따라서 가장 위험이 적다고 했던 GMV(Global Minimum-Variance)부터에 있는 곡선의 포트폴리오들만 일반 투자자들이 고려하는 포트폴리오가 되고 이 곡선을 효율적 투자선이라고 한다. 일반적으로 투자자들은 안전형부터 공격형까지 나뉘며, 위험회피성향에 따라 Efficient Frontier의 왼쪽아래 (방어적투자)에서 오른쪽위 (공격적투자)에 해당하는 포트폴리오를 선택하게 된다.

 

 

l  MVO의 가정

 

1. 투자자들은 포트폴리오의 기대 수익률(Return)과 분산(Risk)에만 관심이 있다.

2. 모든 투자자들이 느끼는 평균, 분산, 공분산의 예측값은 같다.

3. 모든 투자자들은 투자성향에서는 위험회피 성향과 같이 일반적인 의사결정을 한다.

4. single-period로써 시작과 끝이 있는데 시작 시점에서의 한 번의 의사결정을 한다.

 

 

l  MVO 모델

 

 

 

MVO모델은 최소 분산 포트폴리오 모델로, 그래프 상 왼쪽 끝 경계선을 찾는 것이다. 실제로 효율적투자선 위의 포트폴리오들만 효율적이기 때문에 그 위의 포트폴리오들만 사용하게 될 것이지만, 최적화문제 자체는 효율적 투자선 아래에 있는 Mean-Variance 포트폴리오들도 찾게 되는 공식이다. 요구하는 기대수익률이 있는 경우 그 수익률을 넣어 EF 곡선위의 한점을 구하면 되고, EF 곡선이 필요한 경우 먼저 GMVP를 구한 뒤, GMVP 기대수익률보다 높은 기대수익률들을 넣어 문제를 푼다음, 그 선들을 연결한 곡선이 EF 곡선이 된다.

 

 

 

l  MVO 최적화 문제 및 라그랑지안

 

포트폴리오 최적화 문제의 목적함수는 포트폴리오의 분산을 최소화하는 식이다. 제약조건으로는 포트폴리오의 기대수익률을 특정 기대 수익률에 맞추는 것 (없을 경우는 GMVP 가 나오게 됨)과 비중들의 합 =1 (없을경우 공매도가 가능하다고 가정)인 제약들이다. 목적함수의 경우 포트폴리오 분산에 ½ 을 곱하게 되는데, 이는 향후 최적비중을 찾을 때 ½ 가 들어간게 더 찾기 쉽게 되기 때문이다. 1/2 이 들어가도 목적함수가 분산을 최소화하는 것에는 최적화에 영향이 없게 된다. 이 문제를 해결하기 위해서 solver나 엑셀을 통해 진행하면 되겠지만, 라그랑지안 식 및 kkt condition을 통해 연립방정식으로 문제를 해결해도 된다. 최적화 문제를 연립방정식으로 푸는데 라그랑지안의 개념이 사용된다. 목적함수에 제약식들을 추가해서 라그랑지안 함수를 만들게 된다. 라그랑지안 식을 통해 최솟값을 구하고 싶기에 각 라그랑지안 멀티플라이어로 편미분한 값이 0인 값을 찾는다.

 

 

l  Risk-Free Asset

n개의 위험자산에 1개의 무위험자산을 더한 포트폴리오가 있다고 가정한다. 무위험 자산의 경우 분산과 표준편차가 0인 자산이다. 보통 risk-free asset의 경우 국채와 같이 default 위험을 갖지 않는 asset을 의미하며, risk-free asset을 공매도 (risk-free rate으로 돈을 빌려)하여 위험자산에 더 투자할수도 있다. 무위험 자산이 하나 추가되면 효율적인 포트폴리오들을 투자선이 아니라 더 훨씬 더 간단하게 나타낼 수 있다. 무위험 자산을 고려시 계산이 간단해지는 이유는 무위험 자산의 분산과 표준편차가 0이라는 특성 때문이다. 이는 다른 위험자산들과 공분산이 0이 된다. 예를들어 무위험자산과 위험자산 1개가 있는 경우, 표준편차가 위험자산에 투자하는 만큼에 대한 비중만큼 선형적으로 커지기 때문에, 두 개의 자산에 투자한 포트폴리오 두 자산을 연결하는 선은 직선이 된다. 마찬가지로 무위험 자산과 투자가능한 포트폴리오 집합에 포함된는 모든 포트폴리오 중 하나를 조합해 포트폴리오를 구성한다고 하면, 이 역시 마찬가지로 모두 직선으로 연결되게 된다. 무위험 자산을 추가해 투자가능한 포트폴리오는 무위험자산과 마켓포트폴리오를 지나는 직선에서 무위험자산과 투자가능한 위험 포트폴리오 집합을 연결한 직선까지의 면적으로 나오게 된다. 이때, 공매도가 가능한 경우 직선이 포트폴리오에서 끝나는 것이 아니라 오른쪽으로 무한히 연장된다. 이로써 기존의 위험자산으로만 투자했던 포트폴리오의 Feasible set이 무위험자산을 추가함으로써 더 확장된 면적으로 나타내지게 된다.

 

 

l  One-Fund Theorem, CML

 

one-fund theorem은 위험자산만 있었을 때는 효율적 포트폴리오들이 효율적 투자선 위에 있었고 이들 중에 어떤 것이 더 선호된다고 말하기 어려웠다. 이는 투자자들의 성향에 따라 안전형과 공격형 투자가 가능했고, 이에 따라 EF 곡선위의 어떤 포트폴리오가 더 효율적인지가 정해지게 되는 것이다. 하지만 Risk-free에 돈을 빌리거나 돈을 맡기는 (투자하는)것이 가능하다 가정하면, risk-free asset과 feasible set 포트폴리오을 합친 포트폴리오 경우 직선으로 나타나게 된다. 그 중 가장 효율적인 직선은 risk-free asset과 Efficient Frontier이 접하는 직선을 그었을 때이며, 이때 접하는 포트폴리오를 market portfolio라고 부른다. risk-free asset과 market portfolio를 지나는 직선이 효율적인 포트폴리오가 된다. 기존의 위험자산으로만 구성된 효율적 투자선 위에 있떤 포트폴리오중에서 이제 고려 대상이 되는 포트폴리오는 tangent portfolio (market portfolio)밖에 없다. 이때 market portfolio는 하나만 존재하기 때문에 이를 one-fund theorem이라고 부른다. Efficient portfolio를 보면 직선 위의 포트폴리오인데 이 중에서 고르는 기준은 안전형, 공격형에 따라 다르다. 하지만 포트폴리오가 어디에 있는지와 상관없이 주식에 투자하는 자금만 놓고 보면 그 안의 투자비율은 Tangent 포트폴리오 비율과 같다. 예를 들어 무위험 자산과 market portfolio을 50%씩 가져간다고 하여 직선의 중간지점을 최적의 포트폴리오로 정해도, 주식에 투자하는 안에서의 비율은 market portfolio 점(Tangent Portfolio)에서의 비율과 같다. 모든 투자자들이 무위험 자산, 위험자산을 나누는지는 개별 성향이지만 주식 내에서 투자하는 비율은 모두 같고 그 비율은 Tangent Portfolio와 같으므로 투자자들은 위험자산 중에서는 Tangent Portfolio에 투자하고 싶어 하기 때문에 TP가 결국 시장 전체를 만들게 되므로 이를 Market Portfolio라고 한다.

CML이란 무위험 자산이 있을 때의 Efficient Frontier를 의미하며, 이는 무위험 자산에서 market portfolio를 연결하는 직선이 된다. CML은 효율적인 포트폴리오들만 나타내기에 위험이 증가함에 따라 기대 수익률의 증가 관계를 잘 보여준다. CML은 Market Portfolio의 기대수익률과 표준편차를 사용해서 직선의 식을 구할 수 있다. 따라서 CML위의 포트폴리오는 효율적인 포트폴리오이고 이는 직선의 식을 통해 모두 설명이 가능하다. 가령 효율적 포트폴리오에 투자했다고 하면, CML 직선 식을 통해 기대수익률이나 표준편차를 구할 수 있게 되는 것이다.

 

 

모든 슬라이드는 경희대학교 일반대학원 빅데이터응용학과 김장호 교수님의 수업자료를 참고했습니다.