다양한 MVO

Mean-Variance Optimization에서 다양한 제약조건을 추가해줄 수 있다.

 

[Asset allocation Restrictions]

먼저 각각의 포트폴리오 자산 또는 특정 자산군들에 비중 제약을 줄 수 있다.

 

[회전율 제약 추가]

 

 

포트폴리오 turnover란 얼마나 자주 자산들이 사고 팔리는지에 대한 주기를 의미한다. turnover에 제약을 거는 이유는 실제로 turnover가 높을 시 거래비용 및 수수료가 많이 들게 되고, 거래비용 및 수수료를 포함한 포트폴리오 성과를 측정하게 되면 포트폴리오 기대수익률이 훨씬 낮아지게 된다. 이에 개별 자산 또는 특정 자산군 (그룹)의 새로운시점비중과 그이전시점 비중의 차의 절댓값 (비중변화)이 특정비중값 이하가 되도록 제약을 걸어줄 수 있다. 실제 제약값들의 경우, average daily volume (ADV)의 특정 퍼센트 값을 turnover가 넘지 않도록 하여 실제 거래량을 반영하여 제약을 걸어주기도 한다. 거래량을 반영하는 이유는 거래비용의 경우 수수료같이 직접 발생하는 것일수도 있지만, 거래를 하려는 종목의 거래량이 많지 않을 때 원하는 시점에 매도를 하지 못할 때 발생하는 비용도 발생하기 때문에, 거래량을 반영하여 발생 가능한 직, 간접적 비용들을 모두 반영하기 위함이다.

 

[Transaction Costs]

 

거래비용에 대한 제약을 직접적으로 줄수도 있다. 거래비용은 turnover에 실제 발생한 비용을 곱한 값들을 더한 비용이다. 각 자산마다 다른 비용값들을 곱해주어 다르게 반영해줄 수 있다. 회전율 제약의 경우 제약식에 제약을 추가해주었지만 거래비용에 대한 제약은 기대수익률을 최대화하는 목적함수에서 거래비용을 빼주는 식으로 제약을 걸게된다.  거래비용의 경우 현실적으로 linear function보다는 거래량 (회전율)이 증가할수록 투자자들의 수요가 높아지고, 큰 매도물량을 소화하는 과정에서 가격이 올라갈 수 있기 때문에, 이에 더 높은 거래비용이 발생한다고 생각하여 piecewise linear로 반영해줄 수 있다. 이에 거래량 구간을 나누어 거래량이 높아짐에 따라 거래비용 직선의 기울기가 더 커지도록 계산해주고 이를 반영하여 목적함수에 넣어주게 된다. 더 나아가 매수할때와 매도할때의 거래비용을 다르게 적용해주는 방법도 사용해줄 수 있다.

 

[Cardinality 제약]

 

Cardinality란 포트폴리오 내의 모든 assets들에 투자하지 않고 몇몇의 특정 assets들에 투자하는 제약을 의미한다. 가령 포트폴리오 내에 주식1 부터 주식 n까지 n개의 주식이 있다면, 시그마 i (i = 1 ~n)을 0 또는 1로 놓고 시그마i의 합이 특정 k값 이하가 되도록 설정한 뒤, 공매도가 없는 경우 각 자산의 비중이 0과 시그마i 사이로, 공매도가 있는 경우 개별자산의 비중이 –M*시그마i이상 +M*시그마i 이하로 (M은 large constant로 M=10이면 충분히 크다라고 인식된다) 제약을 걸게 되면, k개 종목의 자산에 대해서만 비중이 나오고, 나머지 n-k개 종목의 자신비중은 0으로 나오게 된다. 하지만 시그마i로 제약을 걸게 되면 binary issue가 생길 수 있고, 주식종목이 많아지면 모델이 복잡해질 수 있다. 이러한 binary issue를 극복하기 위해 다양한 regularization 기법을 적용할 수 있다. regulation이란 계수에 대한 penalty term을 추가하는 것이며 포트폴리오 문제의 경우 포트폴리오 weight들을 추가하게 된다. L1 regulation만 진행하는 것을 Lasso, L2 regulation도 함께 진행하는 것을 Elastic net이라고 한다.포트폴리오 최적화의 경우 Lasso의 경우 weight에 대한 1-norm을, Elastic net의 경우 1 –norm 과 2- norm 모두 목적함수에 추가해준다. Group Lasso로 자산들을 몇개의 sector 그룹으로 나누어준 뒤 group별 비중에 대한 regulation을 적용해줄수도 있다. 최적화의 경우 람다값들을 높여주면서 원하는 포트폴리오 주식개수가 나올 때까지 람다값을 찾아주게 된다. regulation은 문제를 풀기에 쉽다는 장점이 있지만, 람다값을 정하기 위해 직접 찾아가며 진행해야한다는 단점이 있다.

 

 

[Tracking Error]

 

포트폴리오 성과를 측정하는 방법으로, 벤치마크 대비 성과가 어떤지를 보게 된다. 벤치마크를 추종하는 투자를 하는 경우, 벤치마크와 비슷하게 움직이는 포트폴리오를 구성하는 것이 의미가 있고, 비슷하게 움직이지만 시장 전체에 투자를 하고 싶지는 않기 때문에 주가지수와 비슷하게 움직임을 갖는 포트폴리오를 가져가게 된다. 이때 traking error를 최소화하는 제약을 걸 수 있다. Tracking Error는 벤치마크와 포트폴리오 수익률 차이들의 표준편차로 구할 수 있다.

 

모든 슬라이드는 경희대학교 일반대학원 빅데이터응용학과 김장호 교수님의 수업자료를 참고했습니다.