기술통계학; 모집단, 표본집단, sampling, Z검정, t검정, F검정

통계학? 

사회 현상을 통계에 의하여 관찰 및 연구하는 학문 

 

모집단

관측 대상이 되는 전체 집단 

 

표본 

모집단에서 일부만 추출된 자료들의 집합

 

모평균

모집단의 평균, 기댓값 

 

표본평균

표본의 평균, 값이 여러개 -> 확률변수 

 

향후 표본평균들의 값들을 확률변수로 보고, 표본평균 확률변수의 분포를 통해 분석 

 

모분산 

모집단의 분산

 

표본분산

표본집단의 분산

 

---

통계조사방법

 

대부분의 모집단 분포는 정확한 중싱믜 위치, 산포도 등을 알수 없음

 

모집단 분포를 알기 위해 통계조사가 필요

1. 전수조사 (모든대상)
2. 표본조사 (일부만)
3. 임의추출  (sampling) - 동일한 확률로 추출되는 표본선택 

---

기술통계학 ?

 

자료를 수집하고 정리해서 표, 도표를 만들거나 

요약하여 변동의 크기나 대표값, 분산 및 평균 등을 구하는 것 

 

ex) 평균값, 최빈수, 최댓값, 최솟값, 범위, 분산 및 표쥰편차 

 

---

표본분포? 

 

k개 (무한대)의 모집단으로부터 n개의 표본들을 뽑았을 때, 그 표본집단의 분포를 의미 

 

표본들의

- sample mean: x̄ (x-bar)

- sample standard Deviation: s 

- sample number: n 

 

모집단으로부터 n개씩 random sampling하여 만들어낸 표본집단들 -> sample1, sample2, sample3 

 

sample1의 mean (x̄1) & standard deviation (s1)

sample2의 mean (x̄2) & standard deviation (s2)

sample3의 mean (x̄3) & standard deviation (s3)

 

이때, n개씩 random 하게 sampling한 여러 표본집단들의 mean value 들의

• 기댓값은 모집단의 기댓값과 같아진다.
• 분산은 모집단 분산 / n
• 표준편차는 모집단 표준편차 / 루트n 

이때, n이 30이상이고, 모집단이 정규분포를 따른다는 정보가 있을 시, 

n개씩 random 하게 sampling한 여러 표본집단들의 mean value 들 (x̄1, x̄2, x̄3, x̄4, ....) 들의 분포또한 

기댓값이 M, 분산 δ^2/n인 정규분포를 따른다. ;  x̄~ N (M, δ^2 / n) 

 

---

 

표본들에 대한 정보(x̄, s, n)을 통해 이루려는 목표 -> 모집단의 추정  (모집단의 M, δ) 

 

우리가 표본을 통하여 모집단을 추정할 시, 보통 1개의 표본집단만을 통해 추정하게 된다. 

따라서, 1개의 표본집단을 통해 추정된 모집단의 변수들에 대한 분포 및 통계치는 모든 case에 정확한 것이 아닌

그 표본집단에 한하여 추정된 모집단에 대한 정보임을 기억해야한다. 

 

 

 

---

한 모집단 M 추정

 

 

sample들의 분포/정보를 통해 모집단의 평균과 표준편차를 추정한다. 

 

모집단의 M 추정방식으로는, 먼저 모집단의 표준편차를 알때와 모를때로 나뉜다. 

 

모집단의 표준편차를 알고 있을 때는, z 검정을 통해, 모를때는 t 검정을 통해 모집단의 M이 어느 구간에 몇% 신뢰를 가지고 들어오는지를 판단한다. 

 

 

 

 

1. 모집단의 분산 given or n >= 30  : Z검증

• 모집단의 분산을 알 때, 모집단의 변수(X)들이 X ~ N (M, δ^2) 의 정규분포를 따른다고 가정 
• 이에 모집단의 M를 추정하기 위하여 Z- 검정을 사용

 

Z-검정?

• 모집단을 정규분포로 가정하여, 추출된 n개의 표본들이 동일 모집단에 속하는지 가설 검증하기 위해 사용

 

• Null Hypothesis (귀무가설) : 표본평균 = 모집단 평균 (가정) 
• Alternate Hypothesis (대립가설) : 표본평균 != 모집단 평균 (가정) 

 

• 귀무가설 기각시 표본들을 통해 모집단의 평균을 추정할 수 없음 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α (유의수준)? 

• 귀무가설이 참인데도 기각할 확률

 

귀무가설이 참인데 기각? 

-> 실제로 표본평균 = 모집단 평균인데, 그렇지 않다고 판단하여 기각하는 것 

 

 

z-distribution 

• 평균은 0, 표준편차는 1인 정규 분포

 

 

유의수준 -> z-distribution의 critical point를 파악 

 

 

 

• 양측검정 
• -Z1/2α & Z1/2α -> critical points 
• z-statistic 이 [- Z1/2α, Z1/2α ] 안에 ->귀무가설 채택 
• z-statistic 이 [- Z1/2α, Z1/2α ] 안에 ->귀무가설 기각, 대립가설 채택

 

 

 

 

 

 

 

 

2.모집단의 분산 not given and n < 30  : t-검정

 

모집단의 분산을 모를때는 모집단의 분산 대신 표본집단의 sample standard deviation을 사용하여 t 검정을 진행한다. 

 

T- 검정

• 모집단의 분산이나 표준편차를 알지 못할 때, 표본으로부터 추정된 분산이나 표준편차를 이용하여 두 모집단의 평균의 차이를 알아보는 검정 방법

- 독립된 두 집단 (또는 대응표본t검정의 경우에는 한 집단)의 평균 차이가 있는지를 검사 - 30개 이하의 비교적 적은 수의 표본에 대해 활용한다.   (표본의 수가 31 이상이면 정규분포와 비슷해지기 때문) - 모집단의 표준편차를 알 수 없을 때 사용한다. 모집단의 표준편차 σ 대신 표본의 표준편차 s 를 사용한다.

 

 

---

두 모집단의 M1, M2 추정 (M1, M2의 차가 x̄1, x̄2의 차와 같은지; 모집단 평균비교 by 표본집단 평균비교)

 

 

---

 

한 모집단의 분산 추정

 

 

• Null Hypothesis (귀무가설) : 표본분산 = 모집단 분산 (가정) 
• Alternate Hypothesis (대립가설) : 표본분산 != 모집단 분산 (가정) 

 

카이제곱 분포?

카이제곱 분포 또는 χ2분포는 k개의 서로 독립적인 표준정규 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포

 

 

 

카이제곱 분포의 확률밀도함수 (PDF)

 

 

 

 

---

두 모집단의 분산1, 분산2 추정 (분산1, 분산2의 차가 s1, s2의 차와 같은지; 모집단 분산비교 by 표본집단 분산비교)

 

 

 

 

F 분포?

통계학에서 사용되는 연속확률분포로, F 검정(F test)과 분산분석(ANOVA,변량분석) 등에서 주로 사용

 

두 확률변수 V1,V2가 각각 자유도가 k1,k2이고 서로 독립인 카이제곱 분포를 따른다고 할 때,

다음과 같이 정의되는 확률변수 F는 자유도가 (k1,k2)인 F-분포를 따른다고 한다

 

 

 

 

---